LESLOUS AYMEN
- leslous.aymen@univ-guelma.dz
Thesis title
Thesis title (Ar)
Thesis title (Fr)
keywords
keywords (Ar)
keywords (Fr)
Abstract
This dissertation presents fundamental contributions to the theory of infinite-dimensional stochastic differential equations and their optimal control, with particular emphasis on hyperbolic-type systems and almost periodic phenomena. The research establishes profound connections among functional analysis, stochastic analysis, and control theory, thereby addressing long-standing challenges in the study of systems governed by stochastic partial differential equations.
In the first part, we develop a comprehensive framework for second-order neutral stochastic differential equations in Hilbert spaces. We establish the existence, uniqueness, and almost periodicity in distribution of mild solutions for a broad class of such equations over the entire real line. The methodology relies on innovative fixed-point arguments in suitable path spaces and introduces a novel generalisation of Grönwall’s inequality capable of treating convolutions on unbounded temporal domains.
The second major contribution provides a complete resolution of the stochastic linear–quadratic optimal control problem for hyperbolic systems with multiplicative noise, representing a significant extension beyond classical theory restricted to deterministic systems. We prove the well-posedness, boundedness, and uniqueness of solutions to the associated operator-valued Riccati equation by means of original techniques that combine chronological calculus with a generalised Grönwall–Bihari inequality.
The effectiveness of these theoretical developments is demonstrated through applications to almost periodic second-order stochastic differential equations and stochastic wave equations with random forcing, thereby confirming the relevance of the proposed framework to problems in mathematical physics and engineering. By integrating tools from operator theory, stochastic analysis, and harmonic analysis, this work provides a unified analytical toolkit that advances our understanding of infinite-dimensional stochastic dynamics.
Abstract (Ar)
تُقدِّم هذه الأطروحة إسهاماتٍ جوهرية في نظرية المعادلات التفاضلية التصادفية غير المنتهية البُعد وفي مسائل التحكّم الأمثل المتعلِّقة بها، مع تركيزٍ خاص على الأنظمة من النمط الزائدي والظواهر شبه الدورية. ويُقيم البحث روابط عميقة بين التحليل الدالي والتحليل التصادفي ونظرية التحكّم، مُعالجًا تحدياتٍ مزمنة في دراسة الأنظمة المحكومة بمعادلات تفاضلية جزئية تصادفية.
في الجزء الأول، نُطوِّر إطارًا نظريًا متكاملًا للمعادلات التفاضلية التصادفية المحايدة من الرتبة الثانية في فضاءات هلبرت. نُثبت وجود الحلول المعتدلة (mild solutions) ووحدانيتها وشبه دوريتها في التوزيع، لفئة واسعة من هذه المعادلات على خط الأعداد الحقيقية بأكمله. وتعتمد المنهجية على حجج مبتكرة من نظرية النقطة الثابتة في فضاءات مسارات ملائمة، وتُقدِّم تعميمًا جديدًا لمتباينة غرونوال قادرًا على معالجة الالتفافات عبر مجالات زمنية غير منتهية.
أما الإسهام الثاني، فيوفِّر معالجةً كاملة لمسألة التحكّم الأمثل الخطي–التربيعي التصادفي للأنظمة الزائدية ذات الضوضاء المضاعفة، مُتجاوزًا بذلك حدود النظرية الكلاسيكية المقصورة على الأنظمة القطعية. نُثبت حسن الوضع والحدودية ووحدانية حلول معادلة ريكاتي المؤثرة المرتبطة، باستخدام تقنيات أصيلة تجمع بين الحساب الزمني ومتباينة غرونوال–بيهاري المعمّمة.
وتتجلّى فعالية هذه التطورات النظرية في تطبيقها على المعادلات التفاضلية التصادفية شبه الدورية من الرتبة الثانية، وعلى معادلات الموجة ذات الإجبار التصادفي، بما يُبرهن على ملاءمة الإطار المقترَح لقضايا في الفيزياء الرياضية والهندسة. ومن خلال دمج أساليب من نظرية المؤثرات والتحليل التصادفي والتحليل التوافقي، يُقدِّم هذا العمل مجموعة أدوات تحليلية موحَّدة تُسهم في تعميق الفهم للديناميكيات التصادفية غير المنتهية البُعد.
Abstract (Fr)
Cette thèse apporte des contributions fondamentales à la théorie des équations différentielles stochastiques en dimension infinie et à leur contrôle optimal, avec un accent particulier sur les systèmes de type hyperbolique et les phénomènes presque périodiques. La recherche établit des liens profonds entre l’analyse fonctionnelle, l’analyse stochastique et la théorie du contrôle, répondant ainsi à des défis persistants dans l’étude des systèmes régis par des équations différentielles partielles stochastiques.
Dans la première partie, nous développons un cadre théorique complet pour les équations différentielles stochastiques neutres du second ordre dans les espaces de Hilbert. Nous établissons l’existence, l’unicité et la presque-périodicité en loi des solutions modérées pour une large classe de ces équations sur l’ensemble de la droite réelle. La méthodologie repose sur des arguments de point fixe innovants dans des espaces de trajectoires appropriés et introduit une nouvelle généralisation de l’inégalité de Gronwall, apte à traiter des convolutions sur des domaines temporels non bornés.
La deuxième contribution majeure propose une solution complète au problème de contrôle optimal linéaire–quadratique stochastique pour les systèmes hyperboliques avec bruit multiplicatif, ce qui constitue une avancée notable au-delà de la théorie classique, largement limitée aux systèmes déterministes. Nous démontrons le caractère bien posé, la bornité et l’unicité des solutions de l’équation de Riccati à valeurs opératorielles associée, en utilisant des techniques originales combinant le calcul chronologique et une inégalité généralisée de type Gronwall–Bihari.
L’efficacité de ces développements théoriques se manifeste dans leurs applications aux équations différentielles stochastiques du second ordre presque périodiques et aux équations des ondes avec forçage stochastique, ce qui illustre la pertinence du cadre proposé pour des problèmes en physique mathématique et en ingénierie. En intégrant des méthodes issues de la théorie des opérateurs, de l’analyse stochastique et de l’analyse harmonique, ce travail fournit une boîte à outils analytique unifiée qui fait progresser notre compréhension des dynamiques stochastiques en dimension infinie.